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代数方法研究鸡兔同笼问题

知识魔灯 徐慧芳 浏览量(560)

【慕联导读】

“鸡兔同笼”是我国古代名题之一。《孙子算经》中记载了这样一个问题:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?

《孙子算经》中是这样解答这个问题的:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。这样,(1)鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;(2)如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1。因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47-35=12(只)。显然,鸡的只数就是35-12=23(只)了。

这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种“奇思妙想”不是一般小学生,甚至小学数学教师能想到的,要有相当的造化才行。

如果我们用点代数知识,依靠方程思想和方法去解决这个问题:

设鸡的只数为x,兔的只数为y,依题意有:

    

解法1:②÷2-①得:y=(94÷2-35)=12(只)

代入①得x=35-12=23(只)

通过代数方法,我们从解法1可看出《孙子算经》中的巧妙解法的奥妙所在。我们还可以采用如下与《孙子算经》中的“奇思妙想”等价的“人性化”说法:

思路一:设想鸡和兔子都受过训练,主人一声令下,所有的鸡都“ 金鸡独立”,而所有的兔子则都用两条后腿站立起来,……

解法2:②-①×2得:2y=(94-35×2),从而y=(94-35×2)÷2=12(只)

代入①得x=35-12=23(只)

解法3:①×4-②得:2x=(35×4-94),从而y=(35×4-94)÷2=23(只)

代入①得x=35-23=12(只)

解法2和解法3可诱导出对应的两种形象化的思考方法

思路二:设想兔子都是受过训练的聪明动物,主人一声令下,所有的兔子都用两条后腿站立起来,此时:(1)鸡和兔的脚的总数就由94只变成了头的总数的2倍;(2)如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数少2。因此,兔子的只数等于94-35×2的一半,即(94-35×2)÷2-35=12(只)。显然,鸡的只数就是35-12=23(只)了。……

思路三:鸡的翅膀是由四足爬行动物的前肢进化而来,如果把鸡的翅膀也看成是“足”,则……

1:小明买了3本英语作业本和5本写字本,共付3元;小王小明买了2本英语作业本和7本写字本;共付了3.1元。问每本英语作业本和每本写字本各多少元?

解:设每本英语作业本为x元,每本写字本为y元,依题意有:

    

②×3-①×2得:11y=(3.1×3-3×2)=3.3  从而y=0.3(元)

代入①得3x+5×0.3=3 解得:x=0.5(元)。

算术思路:我们创造条件,使其中一种数量相同,假设小明又帮同学买了1份相同的作业本,即共6本英语作业本和10本写字本,共付3×2=6元,小王也帮另外两同学买了与自己相同的作业本,即6本英语作业本和21本写字本;共付了3.1×3=9.3元。所以,11本写字本共花了9.3-6=3.3(元)从而可得到每本写字本0.3元。……

由此可见,对某些小学数学难以解决的问题,如果先用代数方法加以解决,便可从中受到启示而寻找一种技巧性的算术解法,从思想方法上,运用这样的“高”观点,将会使我们在小学算术问题解决上思路大为开阔,方法更加灵活有效,从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境。

 

 


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