第三次数学危机--悖论的产生

【慕联导读】

在数学这条源远流长的历史长河中，不断有新的理论或者定律被人们发现，这就冲击着传统的数学定律和理论，形成了数学危机，前面我们提到第一次数学危机---无理数的发现以及第二次数学危机---无穷小是零吗？，那么今天就带同学们来了解一下数学发展过程中的第三次数学危机---悖论的产生。

悖论的产生

数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。                                              

1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某乡村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：“他给村里所有不给自己刮脸的人刮脸”。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：理发师是否自己给自己刮脸？如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。

罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道：一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。于是终结了近12年的刻苦钻研。

承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

同学们对三次数学危机做一个了解就可以了，知道数学发展不是一蹴而就的，数学危机的出现可以看出，数学的发展过程是艰辛曲折的，但是，古代的科学家刻苦专研的精神，为数学发展奠定了坚实的基础，也为我们树立了好的榜样。