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趣味数学-韩信点兵

知识魔灯 徐慧芳 浏览量(530)

【慕联导读】

一、有规律问题的解法

重要口诀:和同加和,差同减差,余同取余,最小公倍加

先来说说最后一句,最小公倍加,意思是,不管什么情况,先把最小公倍数求出来,这个是作为基础。然后根据不同情况进行辨别,如何继续处理。

(一)和同加和

意思是,如果不同被除数和余数的和相同,那么就把这个和,加到最小公倍数上。

例:一个数除5余3,除6余2,除7余1

解题思路:5、6、7的最小公倍数是210,因为5+3=6+2=7+1=8,所以这个数最小就是8,其余满足条件的数字是210的倍数+8,比如218、428……

(二)差同减差

意思是,如果不同被除数和余数的差相同,那么就把这个差,用最小公倍数减掉。

例:一个数除5余3,除6余4,除7余5

解题思路:5、6、7的最小公倍数是210,因为5-3=6-4=7-5=2,所以这个数最小就是:210-2=208,其余满足条件的数字是210的倍数+208,比如418、628……

(三)余同取余

这个是最简单的了,意思是,如果余数都相同,直接把余数加到最小公倍数上。

例:一个数除5余3,除6余3,除7余3

解题思路:5、6、7的最小公倍数是210,所以这个数最小就是3,其余满足条件的数字是210的倍数+3,比如213、423……

二、无规律问题的解法

一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出2个;如果按6个一堆放,最后多3个;如果按7个一堆放,还多出1个。这筐苹果至少有几个?

(一)逐步约束法

5余2的最小数字是7,看看7除以6是余1不是3,所以要看看7上面加多少个5才能除以6余3。

通常的做法是,7+5=12,余0,不对;12+5=17,余5,不对;17+5=22,余4,不对;22+5=27,余3,对了!所以是27。

实际上,也可以用这样的做法,就是:把除以6余3看成是-3(3-6=-3),5除以6余-1。问题就简化为:要把7除以6的余数1变成余-3,需要多少个5除以6的-1?很明显,答案是:(-3-1)÷(-1)=4,也就是说,要在7上面加4个5,也就是加上20,则结果为27

27这个数字出来了,还没结束,下面考虑27除以7余6,不是余1。要在27上面加多少个30(5和6的最小公倍数)才能余1?

同样的思路,要余1,相当于余8(1+7=8),由于30除以7余2,问题就转换为,要从余6变成余8,需要多少个2,答案是1个,也就是27上面加1个30即可,最终数字是57。

(二)中国剩余定律

先找出6和7的公倍数,从中选取一个最小的、能够除以5余1的数字,为42×3=126,用这个数乘以5的余数。题目中除以5余2,所以126×3=252;

再找出5和7的公倍数,从中选取一个最小的、能够除以6余1的数字,为35×5=175,用这个数乘以6的余数。题目中除以6余3,所以175×3=525;

再找出5和6的公倍数,从中选取一个最小的、能够除以7余1的数字,为30×4=120,用这个数乘以7的余数。题目中除以7余1,所以120×1=120;

上述3个数字相加:252+525+120=897

897除以5、6、7三个数的最小公倍数210的余数,即为最终答案:897-210×4=57

三、韩信点兵

回到文章开头韩信点兵的故事,已知军队人数大概在1000-1100左右,如果1-3报数余2人,1-5报数余3人,1-7报数余2人

这个题目我们采用混合做法,既然除以3余2,除以7余2,那么利用同余取余,秒算出来21+2=23

然后,看23除以5余3,正好,不用再加21了,答案就是23,多么简单。

考虑到人数在1000-1100之间,23的基础上加上10个3、5、7的公倍数105,也就是23+10×105=1073


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